On the small-time local controllability of a quantum particle in a moving one-dimensional infinite square potential well

We consider a quantum charged particle in a one-dimensional infinite square potential well moving along a line. We control the acceleration of the potential well. The local controllability in large time of this nonlinear control system along the ground state trajectory has been proved recently. We prove that this local controllability does not hold in small time, even if the Schrödinger equation has an infinite speed of propagation. To cite this article: J.-M. Coron, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).  2005 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé Sur la contrôlabilité en temps petit d’une particule quantique dans un puits de potentiel carré infini unidimensionnel mobile. On considère une particule quantique chargée dans un puits de potentiel carré infini unidimensionnel se déplaçant le long d’une droite. On contrôle l’accélération du puits de potentiel. La contrôlabilité locale autour de l’état fondamental pour des temps grands de ce système de contrôle a été récemment démontrée. Nous montrons que l’on n’a pas contrôlabilité locale pour des temps petits, bien que l’équation de Schrödinger ait une vitesse de propagation infinie. Pour citer cet article : J.-M. Coron, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).  2005 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved. Version française abrégée Soit I = (−1,1). On considère le système de contrôle, modélisé par l’équation de Schrödinger, iψt =−ψxx − u(t)xψ, (t, x) ∈ (0, T )× I, ψ(t,−1)=ψ(t,1)= 0, t ∈ (0, T ), (1) Ṡ(t)= u(t), Ḋ(t)= S(t), t ∈ (0, T ). (2) C’est un système de contrôle où, au temps t ∈ [0, T ], l’état est (ψ(t, ·), S(t),D(t)) ∈ H 1 0 (I ;C) × R × R avec ∫ I |ψ(t, x)|2 dx = 1 et le contrôle est u(t) ∈ R. Ce système a été introduit par Rouchon dans [14]. Il modélise une particule quantique non relativiste chargée dans un puits de potentiel carré infini unidimensionnel se déplaçant le long E-mail address: [email protected] (J.-M. Coron). URL: http://www.math.u-psud.fr/~coron/ (J.-M. Coron). 1631-073X/$ – see front matter  2005 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2005.11.004 104 J.-M. Coron / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 103–108 d’une droite . Au temps t , ψ(t, ·) est la fonction d’onde de la particule dans un repère lié au puits de potentiel, S(t) est la vitesse du puits de potentiel, D(t) est l’abscisse sur la droite du puits de potentiel et le contrôle u(t) est l’accélération du puits de potentiel. On cherche à contrôler simultanément la fonction d’onde ψ , la vitesse S et la position D du puits de potentiel. Notons que ((ψ,S,D),u) ≡ ((ψ1,0,0),0), avec ψ1 défini par (11) est une trajectoire du système, i.e. une solution de (1), (2). Dans [2], nous avons montré, en particulier, la contrôlabilité locale de ce système autour de la trajectoire ((ψ1,0,0),0) pour des temps grands. Rappelons que, si on ne s’intéresse pas à (S,D), ce résultat est dû à Beauchard [1]. En particulier on peut aller de (ψ1(0, ·),0,0) à (ψ1(T , ·),0, D) avec un contrôle petit si D est petit, pourvu que T soit assez grand (Theorem 1.1 ci-dessous). Comme la vitesse de propagation de l’équation de Schrödinger est infinie il est naturel de se demander si notre système de contrôle n’est pas localement contrôlable en temps petit le long de la trajectoire ((ψ1,0,0),0). L’objet de cette note est de montrer que ce n’est pas le cas. Plus précisément, on montre le théorème suivant Théorème 0.1. Il existe ε > 0 tel que, pour tout D = 0, il n’existe pas de u ∈ L2((0, ε); (−ε, ε)) telle que la solution (ψ,S,D) ∈ C0([0, ε];H 1 0 (I ;C))×C0([0, ε];R)×C1([0, ε];R) du problème de Cauchy iψt =−ψxx − u(t)xψ, (t, x) ∈ (0, ε)× I, ψ(t,−1)=ψ(t,1)= 0, t ∈ (0, ε), (3) Ṡ(t)= u(t), Ḋ(t)= S(t), t ∈ (0, ε), (4) ψ(0, x)=ψ1(0, x), x ∈ I, S(0)= 0, D(0)= 0, (5) satisfasse ψ(ε, x)=ψ1(ε, x), x ∈ I, S(ε)= 0, D(ε)= D. (6) Remarque 1. Comme on s’intéresse ici à un problème de contrôlabilité locale autour de la trajectoire ((ψ1,0,0),0), il est naturel de voir ce qui se passe si on remplace (1), (2) par son approximation linéaire le long de cette trajectoire. Cette approximation linéaire est le système de contrôle iψt =−ψxx − uxψ1, (t, x) ∈ (0, T )× I, ψ(t,−1)=ψ(t,1)= 0, t ∈ (0, T ), (7) Ṡ(t)= u(t), Ḋ(t)= S(t), t ∈ (0, T ), (8) avec maintenant ∫ I (ψ(t, x)ψ̄1(t, x) + ψ̄(t, x)ψ1(t, x))dx = 2. Toutefois il a été montré par Rouchon dans [14] qu’avec (7) à la place de (3), le Théorème 0.1 est faux, ceci bien que le système de contrôle (7), (8) ne soit pas contrôlable (quelque soit le temps de contrôle ; voir de nouveau [14]). Comme nous l’avons rappelé, ci-dessus il est par contre montré dans [2] que le système non linéaire (1), (2) est localement contrôlable le long de la trajectoire ((ψ1,0,0),0) sur [0, T ] si T est assez grand. Autrement dit, la non linéarité nous aide pour obtenir de la contrôlabilité mais nous empêche de faire certains déplacements naturels si le temps de contrôle est trop petit. Pour démontrer le Théorème 0.1, soit u ∈ L2((0, ε); (−ε, ε)) telle que la solution (ψ,S,D) ∈ C0([0, ε];H 1 0 (I ;C))×C0([0, ε];R)×C1([0, ε];R) du problème de Cauchy (3)–(5) satisfasse (13). On introduit la fonction V (t) := −i + i ∫ I eiλ1tψ(t, x)φ1(x)dx, t ∈ [0, ε], (9) où ψ est solution de (3) et où λ1 est défini dans (11). Après quelques calculs, on montre qu’il existe une constante C0 > 0 tel que, pour tout ε ∈ [0,1], ∣∣V (ε)− ‖S‖2 L2(0,ε) ∣∣ C0ε‖S‖L2(0,ε). (10) On prend ε ∈ (0,1/C0)∩ (0,1]. On a alors (u ≡ 0)⇒ (V (ε) = 0)⇒ (ψ(ε, ·) =ψ1(ε, ·)), ce qui nous donne le Théorème 0.1. J.-M. Coron / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 103–108 105